Makalah Matematika Aplikasi Turunan Fungsi Naik Dan Fungsi Turun

Makalah Matematika Peminatan

1.        Judul Makalah:

Aplikasi Turunan Fungsi

2.        Tujuan:

a.        Menentukan fungsi naik dan fungsi turun

b.        Mengamati sketsa grafik fungsi untuk menentukan interval nilai x

c.        Mencari nilai stationer dari suatu fungsi

3.        Landasan Teori

Konsep turunan adalah subjek yang banyak berperan dalam aplikasi matematika di kehidupan sehari-hari diberbagai bidang. Konsep turunan dapat  digunakan untuk menentukan interval fungsi naik dan turun.

a.        Fungsi naik dan fungsi turun

·         Fungsi Naik

Suatu fungsi f disebut naik pada suatu interval jika untuk setiap nilai x₁ dan x₂ pada interval itu dan x₁ < x₂ maka f(x₁) < f(x₂), atau jika gradien garis singgungnya positif sehingga f’(x) > 0.

·         Fungsi Turun

Suatu fungsi f disebut turun pada suatu interval jika untuk setiap nilai x₁ dan x₂  pada interval itu dan x₁ < x₂ maka f(x₁) > f(x₂), atau jika gradien garis singgungnya negatif sehingga f’(x) < 0

b.        Sketsa grafik fungsi untuk menentukan interval nilai x

Dari grafik diatas diperoleh interval naik dan turunnya, 

Interval naik : x₁ < x < x₂ atau  x > x₃ . 

Interval turun : x < x₁ atau x₂ < x < x₃. 

Dari garfik di atas dapat dijelaskan bahwa, 

*). Fungsi naik pada interval  a < x < b ,  jika terdapat  x₁, dan  x₂, dengan  x₁ < x₂,  pada interval  a < x < b, maka berlaku  f(x₁) < f(x₂). 

*). Fungsi turun pada interval  a < x < b ,  jika terdapat x₁, dan  x₂,  dengan  x₁ > x₂,  pada interval a < x < b, maka berlak f(x₁) > f(x₂).

c.        Mencari nilai stationer suatu fungsi

Jika f(x) kontinu dan diferensiabel pada x = a dan f’(a) = 0 maka f(a) merupakan nilai stasioner fungsi f(x) di x=a dan titik (a , f(a))merupakan titik stasioner.

4.       Pembahasan

a.        Menentukan fungsi naik dan turun dan nilai stationer

1.      Sebuah kurva parabola dinyatakan dengan rumus  y = f(x) = - x² + 2x + 3

Tentukan interval x dimana fungsi naik dan dimana fungsi turun!

Jawab :

Dari f(x) = - x² + 2x + 3 didapat 

f ’(x) = - 2x + 2,

Syarat f(x) naik jika f’(x) > 0

Þ     - 2x + 2 > 0

Þ     - 2x > -2

Þ     - x > -1

Þ     x < 1, jadi f(x) naik dalam interval  x < 1

f(x) turun jika f’(x) < 0

Þ     - 2x + 2 < 0

Þ     - 2x < -2

Þ     - x < -1

Þ     x > 1, jadi f(x) turun dalam interval x > 1

2.      Tentukan nilai stasioner dari fungsi yang dirumuskan dengan: 

f(x) = 2x³ + 3x² – 36x -54!

Jawab:

f(x) = 2x³ + 3x² – 36x - 54, 

Þ f’(x) = 6x² + 6x – 36

Syarat stasioner f’(x) = 0, diperoleh

6x² + 6x – 36 = 0

6(x² + x – 6) = 0

6(x + 3)(x – 2) = 0

x = -3 atau x = 2.

Nilai stasioner fungsi

Untuk x = -3 

Þ f(-3)   = 2.(-3)³ + 3.(-3)² – 36.(-3) – 54

               = 2.(-27) + 3.9 + 108 – 54

               = -54 + 27 + 108 – 54

               = 27

Untuk x = 2 

Þ f(2) = 2.(2)³ + 3.(2)² – 36.(2) – 54

            = 2.(8) + 3.4 – 72 – 54

            = 16 + 12 – 72 – 54

            = - 98

Jadi nilai stasioner fungsi f(x) untuk x = -3 adalah 27 dan untuk x = 2 adalah – 98.